由凯利公式联想到的仓位控制

市场是极度不公平的，为了取得长期的胜利，必须保持不输的很惨，风险控制非常重要，其中仓位控制就是需要重点关注的一点

什么是凯利公式呢？

凯利公式是一个独立重复赌局中，使本金的长期增长率最快的的投注策略。“独立重复”强调每次下注之间的独立不相关，“长期”强调排除偶然因素而站在概率的角度上看。

凯利公式的内容是什么呢？

假设你做一次投资，且你赢的概率为 P，输的概率为（1-P），赢时盈利百分比a,输时亏损百分比b，则那么每次最优的投资仓位C为：

C = \frac{P\times a-(1-P)\times b}{a\times b}

那么这个公式的是否正确呢？

我们用上快要遗忘的数学知识来做一个证明：

假如投资了N次，每次仓位百分比h，盈利了M次，亏损了N-M次，初始资金为Z0，则N次投资后总资产Zn为：

Z_n = Z_0\times (1+a\times h)^M\times(1-b\times h)^{N-M}

这个公式一看就头晕对吧？那么我们把它美化（两边同时取对数）一下，就变为：

logZ_n = logZ_0+M\times Log(1+a\times h)+(N-M)\times log(1-b\times h)

根据高中数学解题经验，进一步变形，反正就是玩儿：

log(\frac{Z_n}{Z_0})^\frac{1}{N} = \frac{M}{N}\times log(1+a\times h)+\frac{N-M}{N}\times log(1-b\times h)

然后根据大学高数的求极限知识，当N 趋于无穷，M/n = P，(N-M)/n = (1-P)，所以上面式子变为：

\lim_{n \to \infty}log(\frac{Z_n}{Z_0})^\frac{1}{N}=P\times log(1+a\times h)+(1-P)\times log(1-b\times h)

再用上大学高数的导数知识，上面这个函数对h的二阶导数小于0（这个读者自行证明了，正好巩固一下自己所学的数学知识），那么可在它一阶导数等于0时，可取得最大值。它的一阶导数为：

y' =\frac{P\times a}{1+a\times h}-\frac{(1-P)\times b}{1-b\times h}

接着，就令其等于0，既有：

0=\frac{P\times a}{1+a\times h}-\frac{(1-P)\times b}{1-b\times h}

最后用上初中知识一顿化简后：

h=\frac{P\times a-(1-P)\times b}{a\times b}

证必！

显然公式 P*a - (1-P)*b为期望E。

令 b为1，即是说亏光本金，那么有：

h =\frac{P\times a-(1-P)}{a}=P-\frac{1-P}{a}

[简单说：只要有亏光资金的概率（1-P）存在，则不管a（盈利）有多大，都不要投入比例超过P的资金。也即是说，只要亏光的概率不是0，就一定不要满仓；只要亏光的概率达0.5，就一定不要超过半仓——哪怕有10倍、20倍利润的可能。此结论对期货、期权、配股权证、放贷等投资特别有意义。许多人在期货、期权、外汇等交易中损失巨大，或者玩不了多久就赔光出场，原因就在于他们受到可能的高额利润诱惑，持仓比例往往过大][1]

最后，来玩个游戏，我用程序来做一个模拟：

假如有一个投资，盈利概率是0.5，盈利则是2倍，亏损则亏完本金，那么，根据凯利公式，投资的比例当是25%。

黑线：我的凯利公式仓位比例，25%

绿色：王聪明的仓位比例，20%

蓝色：徐哥哥的仓位比例，80%

红色：阿酷的仓位比例，8%

参考

1. 投资组合的熵理论和信息价值——兼析股票期货等风险控制
2. 投资中最重要的公式之——凯利公式