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租赁营销中的逆函数模型的应用

对于买了用的不多的，不买又心痒痒的东西，可以使用以租代买的方式进行体验，然而在实际生活中，商家的每日租金在很多时候都是不确定的，如何花最少的钱租最长时间，是每个消费者需要思考的问题

起因

最近要拉朋友来家里玩，玩的话肯定要玩主机同屏游戏，所以需要多个手柄和游戏，于是我上支付宝去看了看，发现有好多平台啊，每个平台的定价都不一致，该挑哪个呢？

那就算一下哪个最划算吧。

准备

起先想的是这个不就是一个线性规划问题吗，然而事实远没有这么简单，线性规划的一个条件就是你本身就知道函数，可以构造出方程组来解决线性规划问题，然而此处只有具体每天的租赁价格，还有一大堆的规则

比如说这个平台，看得出来价格根本就不是一个线性函数

比如这个平台，除了起始租金，还有周租金，月租金，还有满5天8折，满10天打7折，满15天打6折的这些条件，这让一个本不富裕的数据集雪上加霜。

最好算的是那种一口价的，7天起租，30天内一个价，90天一个价

这样的话就很难受，看起来很复杂，所以的话先手动算算看商家到底是怎么定价的吧。

数据

这里使用了上图第一个有一个类似于滑梯的这个图作为对象进行定价公式的拟合。

首先需要一条一条的整理数据，这里商家定的是5天起租起步5元，每日价格递减，最后形成一条平滑曲线，30天后最低价1.5元

我们就手动输入数据，反正也就30条数据，在spss中输入以下数据

然后进行数据拟合处理

公式拟合方法一

经过百度的指导，我已经知道怎么用spss做拟合了

先确定范围

首先点击 分析-回归-曲线估算

然后在面板上选中需要估算的变量variable和因变量Dependent variable，可以理解为变量是x，因变量是f(x)，然后重点来了

为了最大限度的拟合图形，直接把下面所有的模型选项都选中，选择右边的绘图和包括常量，最后可选显示Anova表，Anova是方差分析(Analysis of Variance，简称ANOVA)，最后点击确定

我们发现，除了生成了每个模型的anova表和系数表外，在最后有一张图，这个就是分别用不同模型拟合的数据了，我们仔细观察里面的那个点，发现居然有一条曲线是几乎完美重合的，观察图例我们发现是叫“逆”的这个模型完美重合了，所以我们再次单独拟合一下曲线，这次仅用逆模型来拟合

逆模型拟合

我们惊喜的发现，真的是完美拟合，商家的定价公式被我们反推出来了

我们观察模型摘要和anova表

发现R方是1，表示有100%的数据能够通过该模型来表示，说明这个是完美的模型，

我们再看显著性是0.00，显著性水平是估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率，用α表示。此处为0说明，这个模型没有犯错误，也就是说它是完全正确的。百度对显著性的定义是

有这样一种情况，原假设正确，而我们却把它当成错误的加以拒绝。犯这种错误的概率用α表示，统计上把α称为假设检验中的显著性水平 1 ，也就是决策中所面临的风险。 α表示原假设为真时，拒绝原假设的概率。 估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率为显著性水平，用α表示。 1-α 为置信度或置信水平，其表明了区间估计的可靠性 1 。 显著性水平是假设检验中的一个概念，是指当原假设为正确时人们却把它拒绝了的概率或风险。它是公认的小概率事件的概率值，必须在每一次统计检验之前确定，通常取α=0.05或α=0.01。这表明，当作出接受原假设的决定时，其正确的可能性（概率）为95%或99%。 显著性水平代表的意义是在一次试验中小概率事物发生的可能性大小。

所以比较标准化的描述是：

设零假设H0=模型是准确的

则非零假设H1=模型是不准确的

积算得出显著性为0.00<我们的置信区间0.01<0.05<0.1

所以我们不拒绝 Do not reject H0, 表示模型和真实值没有显著性差异，模型准确

查看系数

首先我们要知道逆模型是什么样的模型，这里给出SPSS曲线估计模型的方程：

逆模型：y=β_0+β_1/x，所以得到的方程式是（此处如果看不到公式格式就刷新下页面）

price = 0.8+\frac{21.007}{days}

自己excel算下数据近乎完全一致，唯一区别在于小数点后几位，可以认定商家的公式就是这个

其余模型的公式：

\begin{aligned} 1、线性：y& = β_0+β_1 x\\ 2、二次项：y&=β_0+β_1 x+β_2 x^2\\ 3、复合：y&=β_0 β_1^x\\ 4、增长：y&=e^{β_0+β_1x}\\ 5、对数：y&=β_0+β_1 ln⁡(x)\\ 6、立方：y&=β_0+β_1 x+β_2 x^2+β_3 x^3\\ 7、S：y&=e^{β_0+β_(1/) x}\\ 8、指数分布：y&=β_0e^{β_1 x}\\ 9、逆模型：y&=β_0+\frac{β_1}{x}\\ 10、幂：y&=β_0 x^{β_1}\\ 11、Logistic：y&=\frac{1}{1/μ+β_0 β_1^x} \end{aligned}

这是一种方法，另一种方法可能更高端，采用了迭代历史记录的做法

公式拟合方法二

这种方法是非线性回归解决法

对于同样的数据，这次我们选择 分析-回归-非线性

整个过程可以参考SPSS官方的指南

确定参数

参数的官方参考

先建立我们的表达式，我们知道了这是一个反函数，所以先点击参数按钮，输入系数的名称a，b，开始值就是这个变量第一个拟合值，我这边设置成-50，其实可以设置为1，然后点添加

输入非线性模型表达式

然后使用我们设定的参数与我们的变量来建立表达式，这边就是a + b / days了

最后函数组就选择其他就行

点击确定，开始拟合

查看系数

  1. 从“迭代历史记录”表中可以看出：迭代了4次后，迭代被终止，已经找到最优解

“此方法是不断地将“参数估计值”代入”损失函数“求解， 而损失函数采用的是”残差平方和“最小，在迭代30次后，残差平方和达到最小值，最小值为（0.000）此时找到最优解，迭代终止”这句话显然我没看懂

反正就是迭代4次，找到了系数的最佳拟合值吧

  1. 从参数估计值”表中可以看出： a= 0.8 （标准误为0.002，很小，说明此估计值的置信度很高） b=21.007（标准误为：0.018，非常小，说明此估计值的置信度高）

故非线性模型表达式为：

price = 0.8+\frac{21.007}{days}

  1. 从“参数估计值的相关性”表中可以看出：变量间的相关性，这里的-0.863说明有比较强的负相关性吧

  1. 从anova表中可以看出：R方 = 1- （残差平方和）/（已更正的平方和） = 1.000， 拟合度为1.000，说明此模型能够解释100%的变异，拟合度非常高

总之就商家的计算公式就出来了

分析

那为什么要用逆函数来定价呢？

我觉得有以下几点原因

  1. 图形比较好看，起初的降价幅度非常高，Δx也就是边际价格开始的变动非常大，明显是在刺激消费者选择更长时间，享受更多的“优惠”，好像消费者租的越多赚得越多

  2. 玩家对游戏的新鲜感随着时间推移而减小，造成接受价格的不断降低，即消费者剩余Consumer Surplus越来越低，而商家正是针对这一点进行合理定价，形成价格歧视，赚更多的钱

  3. 最后一点，看似价格越来越低，实际上，在总体价格上，消费者付的钱越来越多了

一次线性回归后发现，付出的总价为 sum = 0.799days +21.022

也就是说只要租出去，商家保底赚21元，每天租金0.8元稳赚不赔

未来还可以复个盘，看看商家到底是怎么用一次线性函数定价每天的价格的

总结

总结而言，租赁营销采用逆函数模型定价是一个非常不错的做法，消费者开心，商家更开心，大家都赚大了！至于最开始的哪个更划算的问题，留到以后再说吧，我先写作业去了。

参考

  1. SPSS（七）非线性回归过程
  2. 利用spss进行曲线拟合
  3. SPSS曲线估计模型公式
  4. Latex数学公式
  5. 锚定效应

事后复盘

我又想了想，我感觉自己是个傻子，这篇文章可能揭露了这个行业的秘密......一个简单的不能再简单的秘密，而我在上面居然没有发现，作为消费者，无论我们怎么租，只会稳亏不赚，除非有类似满多少天打折的情况，其他所有时候，只会约租越亏，所以唯一的租赁策略就是

尽量时间尽可能短

相信我，这是数学推导出来的秘密。

2020.03.31